نظریه اعداد شاخه ای است از ریاضیات که از خواص اعداد درست ، یعنی 1،2،3،4،5 و … که اعداد شمار یا اعداد صحیح مثبت نیز نام دارند ، سخن می گوید . شک نیست که اعداد صحیح مثبت نخستین اختراع ریاضی بشر است . به سختی می توان انسانی را مجسم کرد که ، لااقل در سطحی محدود ، قدرت شمارش نداشته باشد . یادداشتهای تاریخی نشان می دهند که سومریان باستان حدود 5700 ق . م تقویم داشته اند و از اینرو باید نوعی حساب می داشته اند. حدود 2500 ق . م سومریها ، با استفاده از عدد 60 به عنوان پایه ، دستگاه اعدادی ابداع کردند . این دستگاه نصیب بابلیها شد که به مهارتهای والایی در حساب رسیدند . لوحهایی گلی بدست آمده از بابلیها شامل جداول ریاضی کاملی هستند و قدمتشان به 2000 ق . م می رسد . وقتی تمدنهای باستان به سطحی رسیدند که اوقات فراغت برای تدقیق در اشیاء بدست آمد ، برخی به تفکر در سرشت و خواص اعداد پرداختند . این کنجکاوی به نوعی تصوف یا علم معانی رمزی اعداد منجر شد و حتی امروزه نیز اعدادی نظیر 3،7،11،13 نشانه خوش شانسی یا بدشانسی هستند. بیش از 5000 سال قبل از آنکه کسی به فکر بررسی خود اعداد به طور اصولی باشد ، اعداد برای حفظ محاسبات و معاملات تجاری بکار رفته اند. اولین روش علمی برای بررسی اعداد صحیح ، یعنی مبدا، اصلی نظریه اعداد ، را عموماً به یونانیان نسبت می دهند. حدود 600 ق . م ، فیثاغورس و پیروانش بررسی نسبتاً جامعی از اعداد صحیح کردند . آنان اولین کسانی بودند که اعداد صحیح را به طرق مختلف رده بندی کردند : اعداد زوج : 2،4،6،8،10،12و… اعداد فرد : 1،3،5،7،9،11 و … اعداد اول : 2،3،5،7،11،13،17،19،23،29،31،37،41،43،47،53،59،61،67،71،73،79، و … اعداد مرکب : 4،6،8،9،10،12،14،15،16،18،20 و … یک عدد اول عددی است بزرگتر از 1 که تنها مقسوم علیه های آن 1 و خود عدد باشند . اعدادی که اول نباشند مرکب نام دارند . جز عدد 1 که نه اول گرفته می شود نه مرکب . فیثاغوریان ، اعداد را به هندسه نیز مربوط ساختند . آنان مفهوم اعداد چند ضلعی را معرفی کردند : اعداد مثلثی ، اعداد مربعی ، اعداد مخمسی و … دلیلی این نامگذاری هندسی با نمایش اعداد به وسیله نقاط به شکل مثلث ، مربع ، مخمس و … بوده است . 4032251576705001739265895985003594100178435000رابطه دیگر اعداد با هندسه ناشی از قضیه معروف فیثاغورس است ، که می گوید : در هر مثلث قائم الزاویه مربع وتر مساوی مجموع مربعات دو ضلع دیگر است . فیثاغوریان به مثلثهای قائمی نظر داشتند که همانند شکل اضلاعشان اعدادی صحیح باشند . این نوع مثلثها را امروزه مثلثهای فیثاغوری می نامند . سه تایی (x,y,z ) نظیر که نمایشگر طول اضلاع است یک سه تایی فیثاغوری نام دارد . یک لوح بابلی ، متعلق به حدود 1700 ق. م پیدا شده که شامل صورت مبسوطی از سه تایی های فیثاغوری است و بعضی از اعداد آن نسبتاً بزرگ می باشند . فیثاغوریان نخستین کسانی بودند که روشی برای تعیین بی نهایت سه تایی عرضه کردند . این روش را می توان با نمادهای جدید چنین بیان کرد : فرض کنیم n یک عدد فرد بزرگتر از 1 باشد و سه تایی (x,y,z) حاصل همیشه یک سه تایی فیثاغوری است که در آن z=y+1 . چند نمونه از آن عبارتند از : 19 17 15 13 11 9 7 5 3 X 180 144 112 84 60 40 24 12 4 Y 181 145 113 85 1 41 25 13 5 Z علاوه بر اینها ، سه تاییهای فیثاغوری دیگری نیز وجود دارند ؛ به عنوان مثال : 20 16 12 8 X 99 63 35 15 Y 101 65 37 17 Z در این مثالها داریم z=y+2 . افلاطون (349-430 ق. م) روشی برای تعیین همه این سه تایی ها بدست آورد ؛ این سه تایی ها در نمادگذاری جدید با فرمولهای زیر بیان می شوند : حدود 300 ق م واقعه مهمی در تاریخ ریاضیات رخ داد. ظهور اصول اقلیدس ، مجموعه ای مرکب از 13 کتاب ، ریاضیات را از علم معانی رمزی اعداد به یک علم استنتاجی بدل ساخت . اقلیدس اولین کسی بود که حقایق ریاضی را همراه با برهانهای دقیق آنها عرضه کرد. سه کتاب از سیزده کتاب (کتابهای X , IX , VII ) به نظریه اعداد اختصاص دارند. در کتاب IX اقلیدس وجود بینهایت عدد اول را ثابت می کند. اثباتش هنوز در کلاسهای درسی تدریس می شود. او در کتاب X روشی برای بدست آوردن همه سه تاییهای فیثاغوری ارائه می دهد، اما دلیلی بر اینکه روشش جمیع آنها را بدست می دهد نمی آورد. این روش را می توان در فرمولهای زیر خلاصه کرد : x = t(a2-b2), y = 2tab, z = t (a2+b2), که در آنها b , a , t اعداد صحیح مثبت دلخواهی هستند بطوری که a>b ، a , b عامل اول مشترک ندارند و یکی از a , b فرد و دیگری زوج است . همچنین ، اقلیدس در مسئله دیگری که فیثاغوریان طرح کرده بودند و آن یافتن همه اعداد تام بود تحقیقات مهمی انجام داد . عدد 6 را یک عدد تام می گفتند زیرا 6 = 3 + 2 + 1 ، یعنی مساوی مجموع تمام مقسوم علیه های واقعی خود ( یعنی ، مجموع تمام مقسوم علیه های کوچکتر از 6 ) بود . مثالی دیگر از اعداد تام 28 است . زیرا 28 = 1+2+4+7+14 و 1،2،4،7و14 مقسوم علیه های 28 هستند که از 28 کوچکترند . یونانیان مقسوم علیه های واقعی یک عدد را "فرازهای" آن عدد می خواندند . آنان 6 و 28 را اعداد تام می گفتند ، از آن جهت که هر یک مساوی مجموع فرازهای خود می باشد . در کتاب ix ، اقلیدس همه اعداد تام زوج را به دست می دهد . وی ثابت کرده است که یک عدد زوج تام است اگر به شکل 2p-1(2p-1) بوده و در آن 2p-1,p هر دو اول باشند . دو هزار سال بعد ، اویلز عکس قضیه اقلیدس را ثابت کرد . یعنی ، ثابت کرد که هر عدد تام زوج باید از نوع اقلیدس باشد . مثلاً برای 6 و 28 داریم : 28 = 23-1(23-1) = 4.7 , 6 = 22-1(22-1) = 2.3 اولین پنج عدد تام زوج عبارتند از : 6 ، 28 ، 496 ، 8128 و 336 ، 550 ، 33 در واقع ، اعداد تام بسیار نادرند . فقط 24 عدد تام شناخته شده است . اینها در فرمول اقلیدس نظیر به مقادیر زیر از p اند : 2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281,3217,4253,4423,9689,9941,11,213,19,937. اعداد به شکل 2p-1 که در آن p عدد اول است ، به افتخار مرسن که آنها را در 1644 مطالعه کرد اعداد مرسن نام یافته اند و با Mp نموده می شوند . ثابت شده است که Mp به ازای 24 عدد اول مذکور در بالا اول ، و به ازای مقادیر دیگر از p<257 ، جز احتمالاً p = 157,167,193,199,227,229 مرکب است . در مورد این اعداد هنوز معلوم نشده که Mp اول است یا مرکب . تاکنون هیچ عدد تام فرد بدست نیامده است ؛حتی از وجود آنها نیز اطلاعی در دست نیست . اما ، اگر وجود داشته باشند ، باید خیلی بزرگ باشند : در واقع ، بزرگتر از 1050 . حال به شرح مختصر تاریخ نظریه اعداد از زمان اقلیدس تا امروز می پردازیم . بعد از اقلیدس در 300 ق. م پیشرفت چشمگیری در نظریه اعداد صورت نگرفت تا حدود 250 ب. م که ریاضیدان دیگر یونانی ، دیوفانتوس اهل اسکندریه 13 کتاب منتشر کرد که فقط شش تای آنها بجای مانده است . این اولین اثر یونانی است که در آن از علایم جبری به نحو اصولی استفاده شده است . با اینکه نمادهای جبریش در مقایسه با نمادهای فعلی خامند ، دیوفانتوس توانسته بعضی از معادلات جبری دو یا سه متغیره را حل نماید . بسیاری از مسائل آن از نظریه اعداد مایه گرفته اند و در نتیجه جستجوی جوابهای صحیح معادلات برایش امری طبیعی بوده است . امروزه معادلاتی که حلشان مستلزم یافتن جوابهای صحیح است ، معادلات دیوفانتینی نام داشته ، و بررسی این معادلات به آنالیز دیوفانتینی شهرت دارد . معادله x2+y2 = z2 در مورد سه تایی های فیثاغوری نمونه ای از یک معادله دیوفانتینی است . بعد از دیوفانتوس تا قرن هفده پیشرفت چندانی در نظریه اعداد حاصل نشد . اگر چه شواهدی وجود دارند که نشان می دهند این مبحث در شرق دور ، به ویژه در هندوستان در فاصله زمانی 500 ب.م و 1200 ب.م شروع به شکوفایی کرده است . این مبحث در قرن هفده در اروپای غربی جان گرفت و آن بیشتر بخاطر مساعی ریاضیدان برجسته فرانسوی پیر دوفرما ( 1665-1601) بود که عموم وی را پدر نظریه جدید اعداد می دانند . فرما بسیاری از الهامات خود را از آثار دیوفانتوس گرفت . وی نخستین کسی بود که خواص عمیق اعداد صحیح را کشف کرد . مثلاً فرما قضایای حیرت انگیز زیر را اثبات کرد : هر عدد صحیح یک عدد مثلثی یا مجموع 2 یا 3 عدد مثلثی ، هر عدد صحیح یک عدد مربعی است یا مجموع 2،3 یا 4 عدد مربعی . هر عدد صحیح یک عدد مخمسی است یا مجموع 2،3،4 یا 5 عدد مخمسی و غیره . همچنین فرما کشف کرد که هر عدد اول به شکل 4n+1 نظیر 5 ، 13 ، 17 ، 29 ، 37 ، 41 و غیره مجموع دو عدد مربعی است . مثلاً 5 = 12+22 , 13 = 22+32, 17= 12+42, 29=22+52 , 37 = 12+62, 41=42+52 اندکی پس از فرا ، نامهایی چون اویلر (1783-1707) لاگرانژ(1813-1736) ، لژاندر(1833-1725) ، گاوس(1855-1777) و دیریکله(1859-1805) بخاطر بسط بیشتر این نظریه به شهرت رسیدند . اولین کتاب درسی در نظریه اعداد به وسیله لژاندر در 1798 منتشر شد . سه سال بعد ، گاوس Disquisitiones Arithemeticae را انتشار داد . کتابی که نظریه اعداد را به یک علم اصولی و زیبا بدل کرد . گاوس با آنکه در رشته های دیگر ریاضیات و نیز در سایر علوم ، کارهای با ارزشی کرده بود ، کتاب نظریه اعداد خود را بزرگترین اثر خویش می دانست . در صد سال اخیر ، یا بیشتر از زمان گاوس ، این مبحث پیشرفتهای زیادی در جهات مختلف داشته است . شرح انواع مسائلی که در نظریه اعداد بررسی شده اند در چند صفحه ممکن نیست . این مبحث بسیار وسیع است و در بعضی قسمتها نیاز به معرفت عمیقی از ریاضیات عالی دارد . با اینحال ، مسائل زیادی در نظریه اعداد وجود دارند که به آسانی قابل بیانند . برخی از آنها به اعداد اول مربوط می شوند و ما بقیه این مقدمه را به این مسائل اختصاص می دهیم . جدول همه اعداد اول کوچکتر از 10 میلیون در 1914 توسط ریاضیدان امریکایی ، دی ، ان ، لمر منتشر شد . درست 664579 یا حدوداً عدد اول کوچکتر از 10 میلیون وجود دارد . اخیراً دی ، اچ ، لمر ( پسر دی ، ان ، لمر ) تعداد اعداد اول کوچکتر از 10 بیلیون را حساب کرده است ؛455052512 یا حدوداً از این اعداد وجود دارد ، اگر چه تک تک آنها شناخته شده نیستند . بررسی دقیق جدول اعداد اول نشان می دهد که توزیع آنها بسیار نامنظم است . این جداول شکافهای عریض را بین آنها نشان می دهند . مثلاً بعد از عدد اول 111370261 عدد مرکب می آیند هیچ عدد اولی بین 20831323 و 20831533 وجود ندارد . به آسانی ثابت می شود که شکافهای عریض دلخواه بین اعداد اول مآلاً رخ خواهند داد . از آن سو ، این جدولها نشان می دهند که اعداد اول متوالی نظیر 3و5 یا 101 و 103 همین طور تکرار می شوند . جفتهایی از اعداد اول که تفاضلشان 2 باشد دوقلوهای اول نام دارد . بیش از 1000 تا از این جفتها زیر 100000 و بیش از 8000 جفت زیر 1000000 وجود دارد . بزرگترین جفتی که تا بحال شناخته شده 76.3139+1 و 76.3139-1 است . به نظر بسیاری از ریاضیدانان ، تعداد این جفتها بی نهایت است اما کسی تاکنون قادر به اثباتش نبوده است . یکی از علل این بی نظمی در توزیع اعداد اول عدم وجود فرمولی ساده برای تولید همه این اعداد است . بعضی فرمولها اعداد اول بسیاری را به ما می دهند . مثلاً عبارت x2-x+41 به ازای x=0,1,2,3…40 اول است و نیز x2-79x+1601 به ازای x=0,1,2,…,79 اول می باشد . لیکن هیچ فرمول ساده أی از این نوع حتی اگر مکعب و توانهای بالاتر بکار روند ، نی تواند به ازای هر x اول باشد در واقع در سال 1725 ، گلدباخ ثابت کرد که هیچ چند جمله أی از x با ضرایب صحیح نمی تواند به ازای هر x یا حتی x های به قدر کافی بزرگ ، اول باشد . بعضی از چند جمله ایها بی نهایت عدد اول را نمایش می دهند . مثلاً وقتی x اعداد صحیح 0,1,2,3,… را بگیرد ، چند جمله ای خطی 2x+1 همه اعداد فرد و در نتیجه بی نهایت عدد اول بدست می دهد . همچنین هر یک از چند جمله ایهای 4x+3 , 4x+1 نمایش بی نهایت عدد اول است . دیریکله در یک مقاله مشهور که به سال 1837 منتشر شد ، ثابت کرد که اگر a,b اعداد صحیح مثبتی بدون عامل مشترک باشند ، چند جمله ای ax + b وقتی x همه اعداد صحیح مثبت را بگیرد ، بی نهایت عدد اول بدست می دهد . این نتیجه امروزه به قضیه دیریکله در باب وجود اعداد اول در یک تصاعد عددی معروف است . برای اثبات این قضیه ، دیریکله از حیطه اعداد صحیح بیرون رفت و ابزارهایی از آنالیز نظیر حدود و پیوستگی را معرفی کرد . با این کار ، پایه های شاخه جدیدی از ریاضیات به نام نظریه تحلیلی اعداد ریخته شد ، که در آن مفاهیم و روشهای آنالیز حقیقی و مختلط برای حل مسائل مربوط به اعداد صحیح بکار برده می شوند . معلوم نیست آیا چند جمله أی درجه دومی مانند ax2 + bx + c با a = 0 وجود دارد که بی نهایت عدد اول را نمایش دهد . دیریکله با استفاده از روشهای قوی تحلیلی خود ثابت کرد که اگر a , 2b , c عامل اول مشترک نداشته باشند ، چند جمله ای درجه دوم دو متغیره ax2 + 2bxy + cy2 وقتی x,y اعداد صحیح مثبت را بگیرند ، بی نهایت عدد اول را نمایش می دهد . فرما می پنداشت که فرمول همیشه ، به ازای n=0,1,2,… اول است . این اعداد را اعداد فرما می نامند و با Fn نشان می دهند . اولین پنج عدد فرما عبارتند از : F0=3 , F1=5 , F2=17, F3= 257, F4=65,537 و همه آنها اولند . لیکن اویلر ، در 1732 دریافت که F5 مرکب است ، در واقع F5 = 232 + 1 = ( 641 ) ( 6,700,417 ). این اعداد در هندسه مسطحه نیز مورد توجه اند . گاوس ثابت کرد که اگر Fn اول باشد مثلاً Fn=p به کمک خط کش و پرگار می توان P ضلعی منتظم را ساخت . هیچ عدد فرمای اولی بزرگتر از F5 یافت نشده است . در واقع به ازای هر عدد فرمای Fn مرکب است . همچنین معلوم شده که Fn به ازای مقادیر زیر از n مرکب است : n=18,19,21,23,25,26,27,30,32,36,38,39,42,52,55,58,63,73,77,81,117,125,144,150,207,226,228,260,267,268,284,316,452,1945 . بزرگترین عدد فرمای مرکب شناخته شده یعنی F1945 بیش از 10582 رقم دارد . عددی بزرگتر از تعداد حروف راهنماهای تلفن لوس آنجلس و نیویورک . قبلاً گفتیم که برای همه اعداد اول فرمول ساده ای وجود ندارد. در این رابطه لازم است نتیجه أی که در 1947 به وسیله ریاضیدان امریکایی ، دبلیو ، اچ ، میلز . کشف شد را ذکر کنیم . وی ثابت کرد که عددی مانند A ، بزرگتر از 1 ولی نه عددی صحیح وجود دارد بطوری که [ A3x ] به ازای هر x = 1,2,3,… اول است . در اینجا [ A3x ] یعنی بزرگترین عدد صحیح نا بیشتر از A3x . متاسفانه ، هیچکس نمیداند A مساوی چیست ؟ یکی از معروفترین مسائل اعداد اول حدس گلدباخ است . در سال 1742 ، گلدباخ در نامه ای به اویلر نوشت که هر عدد زوج ناکمتر از 4 مجموع دو عدد اول است . مثلاً 4 = 2 + 2 , 6 = 3 + 3 , 8 = 3 + 5 , 10 = 3 + 7 = 5 + 5 , 12 = 5 + 7 این حدس تاکنون بلاتکلیف مانده است ، گرچه در سالهای اخیر پیشرفتهایی صورت گرفته که صحت احتمالی آن را نشان می دهند . اما چرا ریاضیدانان حدس را احتمالاً درست می دانند در حالی که قادر به اثباتش نیستند ؟ قبل از همه ، حدس به ازای تمام اعداد زوج کوچکتر از با محاسبه تحقیق شده است . معلوم شده که هر عدد زوج بزرگتر از 6 و کوچکتر از LINK Word.Document.8 "D:\\cop\\a\\2 (6767).doc" OLE_LINK2 \a \r نه فقط مجموع دو عدد اول فرد است بلکه مجموع دو عدد اول فرد متمایز می باشد . اما در نظریه اعداد تحقیق چند هزار حالت برای متقاعد کردن ریاضیدانان که چیزی احتمالاً درست است کافی نیست . مثلاً همه اعداد اول به دو رسته تقسیم می شوند . یک رسته به شکل 4n+1 و رسته دیگر به شکل 4n+3 فرض کنیم(x) تعداد اعداد اول نابیشتر از x و به شکل 4n+3 باشد . معلوم شده که بی نهایت عدد اول از هر دو نوع وجود دارند . با محاسبه معلوم شده است که به ازای هر اما در سال 1957 ، ج . لیچ دریافت که به ازای x = 26.861 داریم در نتیجه ، عکس نامساوی فوق برقرار است . در سال 1914 ، لیتلوود ثابت کرد که این نامساوی بی نهایت بار پس و پیش می شود . یعنی ، بی نهایت x وجود دارد که به ازای آنها و بی نهایت x وجود دارد که به ازای آنها . بنابراین ، حدسهای مربوط به اعداد اول ، حتی اگر در چند هزار حالت با محاسبه تحقیق شوند ، ممکن است خطا باشند . لذا ، این امر که حدس گلدباخ به ازای همه اعداد زوج کوچکتر از تحقیق شده گواه ضعیفی در جهت اعتبار آن بیش نیست . با ذکر مختصری از از چند مسئله مهم حل نشده در باب اعداد اول خاتمه می دهیم. (مسئله گلدباخ) . آیا عدد زوجی بزرگتر از 2 هست که مجموع دو عدد اول نباشد ؟ آیا عدد زوجی بزرگتر از 2 هست که تفاضل دو عدد اول نباشد ؟ آیا بی نهایت دو قلوی اول وجود دارد ؟ آیا بی نهایت عدد مرسن اول وجود دارد ؛ یعنی اعداد اولی به شکل2p+ 1 که در آن p اول است؟ آیا بی نهایت عدد مرسن مرکب وجود دارد ؟ آیا بی نهایت عدد فرمای اول وجود دارد ؛ یعنی اعداد اولی به شکل آیا بی نهایت عدد فرمای مرکب وجود دارد؟ آیا بی نهایت عدد اول به شکل x2 + 1 که در آن x صحیح است وجود دارد ؟ (ثابت شده که بی نهایت عدد اول به اشکال x2 + y2 + 1 , x2 + y2 و x2 + y2 + z2 + 1 وجود دارد ). آیا بی نهایت عدد اول به شکل x2 + k (به ازای k ی مفروض) وجود دارد ؟ آیا همیشه دست کم یک عدد اول بین n2 و (n + 1 )2 به ازای هر عدد صحیح وجود دارد؟ آیا همیشه دست کم یک عدد اول بین n2 و n2 + n به ازای هر عدد صحیح n > 1 وجود دارد؟ آیا بی نهایت عدد اول که ارقامشان (در پایه 10) همه یک اند وجود دارد؟ ( دو نمونه عبارت است از 11 و 11,111,111,111,111,111,111,111, ). ریاضیدانان حرفه أی مجذوب نظریه اعداد بوده اند از آنرو که می توان همه سلاحهای ریاضیات جدید را به سوی مسائل آن نشانه رفت. در واقع بسیاری از شاخه های مهم ریاضیات ریشه در نظریه اعداد دارند. مثلاً تلاشهای اولیه در اثبات قضیه اعداد اول موجب پیدایش نظریه توابع تمام شدند. تلاش برای اثبات اینکه معادله دیوفانتینی به ازای جواب نابدیهی ندارد (حدس فرما) به پیدایش نظریه جبری اعداد منجر شد. که یکی از فعالترین زمینه تحقیق در ریاضیات جدید است. با اینکه حدس فرما هنوز بلاتکلیف است این حدس در مقایسه با نتایج بسیار گرانبهای حاصل از کار روی آن بی اهمیت است. مثال دیگر نظریه افرازها است که در بسط آنالیز ترکیباتی و در مطالعه توابع هنگی عامل مهمی بوده است. در نظریه اعداد صدها مسئله وجود دارند که حل نشده اند . سرعت پیدایش مسائل جدید از حل مسائل قدیم بیشتر است و بسیاری از مسائل قدیم قرنهاست بی حل مانده اند. همانطور که سیرپینسکی ریاضیدان زمانی گفت : … زیادی معرفت ما از اعداد بخاطر آنچه از آنها می دانیم نیست ، بلکه بخاطر درک آنچه هنوز از آنها نمی دانیم نیز می باشد.


دسته‌بندی نشده

سایت ما حاوی حجم عظیمی از مقالات دانشگاهی است . فقط بخشی از آن در این صفحه درج شده شما می توانید از گزینه جستجو متن های دیگری از این موضوع را ببینید 

کلمه کلیدی را وارد کنید :

دسته بندی: دسته‌بندی نشده

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

مطالب مرتبط

دسته‌بندی نشده

3 (1261)

ابتذال فراگیر درد این نسل را باید درک کرد راه درمان اساسی این است که اول ما درد این نسل را بشناسیم‏‌‏ ، درد عقلی و فکری، دردی که نشانه بیداری است یعنی آن چیزی ادامه مطلب…

دسته‌بندی نشده

3 (1249)

تعریف روانشناسی: عنوان کتاب حاضر، نویسنده را موظف می‎دارد که «روان‎شناسی» را، بدواً به صورت هر چه ساده توضیح و تشریح نماید. و سپس از «محیط اداری» تعریف به دست دهد. چه، شرط مبادله‌صحیح اطلاعات ادامه مطلب…

دسته‌بندی نشده

3 (1250)

تعریف روانشناسی: عنوان کتاب حاضر، نویسنده را موظف می‎دارد که «روان‎شناسی» را، بدواً به صورت هر چه ساده توضیح و تشریح نماید. و سپس از «محیط اداری» تعریف به دست دهد. چه، شرط مبادله‌صحیح اطلاعات ادامه مطلب…

background