فرایند پواسون، رگرسیون، توسعه مدل، حداکثر درست نمایی پایان نامه ها و مقالات

روشهای برآورد رایج تر است زیرا اولا با استفاده از روش حداکثر درستنمایی می توان بازه اطمینانی را برای نقطه تغییر تخمین زد؛ ثانیا این روش نسبت به میزان تغییر و مقدار هدف پارامتر مورد بررسی کاملا غیرحساس است؛ در حالی که برآوردهای حاصل از نمودارهای جمع تجمعی و میانگین متحرک موزون نمایی نسبت به میزان تغییر حساس می باشند. به طور مثال برآوردکننده های ذاتی نمودار CUSUM برای تخمین نقطه تغییر وقتی میزان تغییر به اندازه 2k باشد، برآوردهای خوبی ارائه می کنند ولی هر چه میزان تغییر از مقدار مذکور فاصله می گیرد دقت برآوردکننده های CUSUM نیز کاهش می یابد. همچنین معمولا برآوردکننده های EWMA در تغییرات کوچک عملکرد بهتری را از خود نشان می دهند و هر چه میزان تغییرات افزایش می یابد، این برآوردکننده ها صحت و دقت کمتری پیدا می کنند. (پیگناتیلو و ساموئل ،2001)
در اکثر مقالاتی که به موضوع نقطه تغییر پرداخته اند از روش MLE برای برآورد نقطه تغییر استفاده شده است و بیشتر مقالات برآوردکننده حاصل از این روش را در شرایط تغییرات پله ای، روندی یا مونوتونیک با برآوردکننده های CUSUM و EWMA مقایسه کرده اند.
2-5-5-2 رویکرد برآورد CUSUM31
یکی دیگر از رویکردهای برآورد نقطه تغییر برآوردکننده های نمودارهای CUSUM و EWMA هستند. هرچند این نمودارها معمولا به منظور کشف تغییرات به کار می روند ولی نوعی برآورد کننده درونی32 نیز دارند که در برآورد نقاط تغییر بر اساس هشدارهای نمودار بسیار موثر است.
پیج (1954) برآوردکننده ذاتی نقطه تغییر را برای نمودار CUSUM معرفی کرد. وی آخرین مشاهده ای که قبل از اعلام هشدار توسط نمودار، مقدار صفر گرفته است را به عنوان برآوردکننده نقطه تغییر پیشنهاد نمود. بر این اساس اگر نمودار CUSUM هشدار افزایش در آماره را بدهد، max⁡{t:S_t^+=0} به عنوان برآوردکننده ذاتی نمودار و اگر نمودار CUSUM هشدار کاهش در آماره را بدهد، max⁡{t:S_t^-=0}به عنوان برآوردکننده ذاتی نمودار خواهد بود. شکل 2-12 بیانگر نحوه عملکرد این برآوردکننده است.

شکل 2-12: برآوردکننده ذاتی نمودار CUSUM (امیری و الله یاری ،2012)

2-5-5-3 رویکرد برآورد EWMA33
نیشینا (1992) برآوردکننده ذاتی نقطه تغییر را برای نمودار EWMA معرفی کرد. وی آخرین مشاهده ای که قبل از اعلام هشدار توسط نمودار، مقداری در خلاف جهت تغییر و در سمت دیگر مقدار هدف گرفته است را به عنوان برآوردکننده نقطه تغییر پیشنهاد نمود. بر این اساس اگر نمودار EWMA هشدار افزایش در آماره را بدهد،max⁡{t:Z_t≤X_0} به عنوان برآوردکننده ذاتی نمودار و اگر نمودار EWMA هشدار کاهش در آماره را بدهد، max⁡{t:Z_t≥X_0} به عنوان برآوردکننده ذاتی نمودار خواهد بود که در این روابط 〖 X〗_0مقدار هدف آماره مورد نظر خواهد بود. نحوه عملکرد برآوردکننده ذاتی EWMA در شکل 2-13 مشخص است.

شکل 2-13: برآوردکننده ذاتی نمودار EWMA (امیری و الله یاری ،2012)
جدول زیر خلاصه ای از تحقیقات انجام شده در تخمین نقطه تغییر در زمینه پایش پروفایل ها را نشان می دهد: (زند و همکاران، 2012)

جدول 2-4: خلاصه تحقیقات انجام شده در تخمین نقطه تغییر در زمینه پایش پروفایل ها (زند و همکاران، 2012)
رویکرد برآورد
فاز
نوع تغییر
نوع پروفایل
سال
نویسنده
SLRT
I
پله ای
خطی ساده
2006
زو و همکاران
LRT
II
پله ای
خطی تعمیم یافته
2007
زو و همکاران
LRT
I
پله ای چندگانه
خطی ساده
2007
محمود و همکاران
SLRT
I
پله ای
چند جمله ای
2008
خادم زاده و همکاران
LRT
II
پله ای
خطی چندمتغیره
2011
ایوزیان و همکاران
MLE
II
پله ای
لجستیک
2012
شرفی و همکاران
LRT
I
پله ای
لجستیک
2012
زند و همکاران

تغییراتی که در فرایند رخ می دهند و رویکردهای مختلفی که برای برآورد نقطه تغییر به کار می روند، در جدول زیر مشاهده می شوند (امیری و الله یاری 2011).
جدول 2-5: انواع مختلف تغییرات فرآیند و رویکردهای برآورد نقطه تغییر
انواع مختلف تغییراتی که در فرایند رخ می دهد
رویکردهای برآورد نقطه تغییر
1- تغییر در یک نقطه (پله ای منفرد)
1- براورد حداکثر درست نمایی
2- تغییر در چند نقطه (پله ای چندگانه)
2- جمع تجمعی
3- تغییر تدریجی (همراه با روند)
3- میانگین متحرک موزون نمایی
4-تغییر جهت دار (مونوتونیک)
4- خوشه بندی
5- تغییر پراکنده

در این پایان نامه تغییر در یک نقطه لحاظ شده و رویکرد برآورد حداکثر درست نمایی برای براورد نقطه تغییر مورد استفاده قرار گرفته است که در فصل بعد به شرح کامل آن پرداخته می شود.

2-5-6 تخمین نقطه تغییر در پروفایل های لجستیک و پواسون
یه و همکاران (2008) پایش پروفایل های باینری در فاز 1 را بررسی کردند. آنها نمودارهای کنترل مختلفی را برای پایش پروفایل های لجستیک ارائه دادند. شانگ و همکاران(2011) مدل کنترل بر اساس EWMA-GLM را برای بیان رابطه بین متغیر پاسخ باینری و متغیر های تشریحی تصادفی را در فاز 2 بیان کردند. کوشا و امیری(2011) اثر به کار بردن توابع پیوندی مختلف را در عملکرد نمودار کنترل T^2 در پایش پروفایل های لجستیک بررسی کردند و ثابت کردند که تابع پیوندی لجیت بهترین عملکرد را در نمودار کنترل T_I^2 در شناسایی شیفتهای کوچک و بزرگ دارد. پیگناتیلو و ساموئل (2001) و پری و پیگناتیلو (2005) نشان دادند که عملکرد MLE در شناسایی نقطه تغییر فرایندهای پواسون از تخمین های EWMA و CUSUM بهتر است. کوشا و امیری(2011) اثر خوده
مبستگی سطوح مختلف متغیر مستقل در پروفایلهای رگرسیون لجستیک را در نمودار T^2 بررسی کردند.
شریفی و امیری(2012) از روش MLE برای شناسایی زمان واقعی تغییرات پله ای در فاز 2 پروفایل های باینری استفاده کردند. زند و امیری(2012) در تحقیق خود از روش LRT برای شناسایی زمان واقعی تغییر پله ای در فاز1 پایش پروفایلهای لجستیک استفاده کردند. امیری و همکاران(2011) روشT^2 را برای پایش پروفایل های با پاسخ پواسون در فاز 1 ارائه دادند.
سموئل وپیگناتیلو(1998)، با استفاده از تخمین زننده حداکثر درستنمایی، روشی را برای برآورد نقطه تغییر نرخ فرایند پواسون در نمودارهای کنترل c ارائه نمودند. فرض ایشان در این برآورد وجود تغییر سطح در یک نقطه و معلوم بودن نرخ فرایند پواسون تحت کنترل بود. همچنین روش پیشنهادی ایشان قادر به تخمین نرخ فرایند پواسون درحالت خارج از کنترل نیز می باشد. سموئل و پیگناتیلو در این تحقیق با استفاده از شبیه سازی، دقت برآورد کننده MLEرا نیز بررسی نمودند. پری و همکاران(2006)، تخمین زننده MLE نقطه تغییر را برای زمانیکه تغییر در نرخ پواسون به صورت روند خطی می باشد، توسعه دادند. ایشان همچنین با استفاده از این روش شیب خط روند تغییر را نیز برآورد کرده و برای نقطه تغییر و شیب خط، مجموعه اطمینان هایی را همراه با کاردینالیتی و احتمال حضور در مجموعه پیشنهاد نمودند. همچنین، پری و همکاران(2007)، روشی را برای برآورد نقطه تغییر در نرخ فرایند پواسون، هنگامیکه تغییر نرخ از نوع مونوتونیک باشد، پیشنهاد نمودند.
جداول زیر تحقیقات انجام شده در زمینه تخمین نقطه تغییر پروفایل های پواسون و لجستیک را نشان می دهد.
جدول 2-6: تحقیقات انجام شده در زمینه تخمین نقطه تغییر پروفایل پواسون
نویسنده
فاز
نوع تغییر
نمودار کنترل
رویکرد برآورد
سال انتشار
شرفی وهمکاران
2
تغییر پله ای
T^2
MLE
2012
شادمان وهمکاران
1
تغییر پله ای
LRT
SLRT
2014
امیری و همکاران
1
تغییر پله ای
T^2,F,LRT
MLE,SLRT
2014

این مطلب رو هم توصیه می کنم بخونین:   پایان نامه ارشد درموردچهارمحال و بختیاری، دانشگاه ارومیه، استان کرمانشاه، استان کرمان

جدول 2-7: تحقیقات انجام شده در زمینه تخمین نقطه تغییر پروفایل لجستیک
نویسنده
فاز
نوع تغییر
نمودار کنترل
رویکرد برآورد
سال انتشار
کوشا و امیری
1
تغییر پله ای
T^2
MLE
2012
شرفی وهمکاران
2
تغییر پله ای
T^2
MLE
2012
زند و همکاران
1
تغییر پله ای
LRT
خوشه بندی
2012
شرفی وهمکاران
2
روند خطی
T^2
MLE
2013
شرفی وهمکاران
2
پله ای- روند خطی
EWMA
MLE
2013
شادمان و همکاران
1
تغییر پله ای
LRT
SLRT
2014

2-6 جمع بندی
در این فصل در ابتدا مفاهیم آماری و مفهوم پایش پروفایل ها به تفکیک دو فاز بیان شد ، سپس مفاهیم و انواع الگوهای خطی تعمیم یافته بررسی شد. سپس مفهوم نقطه تغییر در نمودار های کنترل شرح داده شد، همچنین تحقیقات انجام شده در ادبیات موضوع در زمینه پایش پروفایل های لجستیک و پواسون و روش های تخمین نقطه تغییر این پروفایل ها در ادبیات موضوع مورد بررسی قرار گرفت.

فصل سوم
روش پیشنهادی جهت کشف نقطه تغییر

3-1 مقدمه
پایش موثر پروفایل های خطی تعمیم یافته به ویژه پروفایل های تعمیم یافته گسسته (لجستیک و پواسون) به لحاظ کاربردی حائز اهمیت است و براساس مرور ادبیات انجام شده پژوهش های اندکی در این حوزه صورت گرفته است. در این فصل پس از بیان مساله، روشی برای پایش این نوع از پروفایل ها و همچنین برآورد نقطه تغییر در فاز 2 کنترل فرآیند آماری توسعه داده شده است.

3-2 تعریف مساله
در این پایان نامه از روش آزمون نسبت درستنمایی جهت پایش پروفایل های لجستیک و پواسون در فاز دوم کنترل فرآیند آماری و همچنین تخمین نقطه تغییر در این نوع از پروفایل ها استفاده می شود و عملکرد این روش با روشی که ابتدا از طریق یک نمودار کنترلT^2 هتلینگ به پایش ضرایب پروفایل پرداخته و سپس از روش MLE برای برآورد نقطه تغییر استفاده می کند، مقایسه می شود. برای انجام این مقایسه دو مساله حائز اهمیت است یکی دقت برآورد نقطه تغییر و دیگری مدت زمان سپری شده جهت برآورد نقطه تغییر. در روش آزمون نسبت درستنمایی همزمان با توسعه مدل نقطه تغییر بر اساس آزمون نسبت درستنمایی، یک نمودار کنترل بر اساس آماره ی نسبت درستنمایی استاندارد شده در فاز2 کنترل فرآیند آماری ایجاد می شود، در این نمودار با اضافه شدن هر پروفایل، برآورد پارامترها و بررسی شرایط خارج از کنترل به صورت همزمان انجام می شود و نیازی نیست که در دو مرحله ابتدا شرایط خارج از کنترل بررسی شود و سپس به تخمین نقطه تغییر پرداخته شود. در این پایان نامه همانطور که در قسمت مفروضات تحقیق(قسمت 1-5) بیان شد، یک تغییر منفرد از نوع پله ای1 در میانگین متغیر پاسخ در نظر گرفته می شود.

3-3 روشهای پیشنهادی
در ادامه روش های پیشنهادی در خصوص مدل سازی پروفایل های پواسون و لجستیک و تخمین نقطه تغییر با استفاده از رابطه بازگشتی در فاز 2 کنترل فرایند آماری ارائه می شود.

3-3-1 تخمین نقطه تغییر پروفایل های پواسون با استفاده از برآورد MLE
توزیع پروفایل پواسون و شیفت در پارامترهای آن به صورت روابط زیر است (شرفی و همکاران،2012).
f(y_ij )=e^(〖-y〗_ij ) 〖λ_i〗^(y_ij )/(y_ij !)=e^〖-exp〗⁡(x_i^T β_0 ) 〖exp⁡(x_i^T β_0 ))〗^(y_ij )/(y_ij !) , i=1,…,n , j=1,…,T (3-1)
λ_i=exp⁡(η_i )=exp⁡〖(x_i^T β_0 ) , i=1,…,n〗
(3-2)
β_1=β_0+∆  , ∆=〖(δ_1 σ_1,δ_2 σ_2)〗^T (3-3)
در روابط بالا y_ij متغیر پاسخ با توزیع پواسون، x_i متغیر مستقل، λ_i پارامتر توزیع پواسون،δ_1 و δ_2 مقدار ثابت و β_0 و β_1 بردار پارامترهای رگرسیون پواسون در حالت در کنترل و خارج از کنترل هستند که به صورت زیر تعریف می شوند:
{█(β_0 j=1,2,…..,τ in [email protected]β_1 j=τ+1,τ+2,…….T out of control )┤ (3-4)
در مدل رگرسیون پواسون، n مجموعه آزمایشی مستقل با p متغیر پیش بینی در هر مجموعه وجود دارد که به صورت x_i=(1,x_i1,x_i2,…,x_ip) نشان داده می شود. تابع درستنمایی پروفایل پواسون به صورت زیر می باشد:
L(τ,β_1│y)=( 1)/(∏_(j=1)^T▒∏_(i=1)^n▒〖y_ij !〗) [e^(-∑_(j=1)^τ▒∑_(i=1)^n▒exp⁡〖(x_i^T β_0 )-∑_(j=τ+1)^T▒∑_(i=1)^n▒exp⁡(x_i^T β_1 ) 〗 )×〖〖[exp〗⁡(x_i^T β_0 )]〗^∑_(j=τ+1)^T▒∑_(i=1)^n▒y_ij 〖〖[exp〗⁡(x_i^T β_1 )]〗^∑_(j=τ+1)^T▒∑_(i=1)^n▒y_ij ] (3-5)
لگاریتم تابع درستنمایی پروفایل پواسون به صورت زیر می باشد:
ln(τ,β_1│y)=-∑_(j=1)^τ▒∑_(i=1)^n▒exp⁡〖(x_i^T β_0 )-∑_(j=τ+1)^T▒∑_(i=1)^n▒exp⁡〖(x_i^T β_1 )+∑_(j=1)^τ▒∑_(i=1)^n▒〖y_ij x_i^T β_0〗⁡〖+∑_(j=τ+1)^T▒∑_(i=1)^n▒〖y_ij x_i^T β_1 〗〗 〗 〗 (3-6)
از رابطه بالا نسبت به β_1 مشتق می گیریم
(∂ln(τ,β_1│y))/〖∂β〗_1 =-∑_(j=τ+1)^T▒∑_(i=1)^n▒〖x_i e^(x_i^T β_1 )+∑_(j=τ+1)^T▒∑_(i=1)^n▒〖〖y_ij x〗_i=0〗〗 (3-7)
در نتیجه از حل معادله فوق رابطه زیر حاصل می شود :
x_i^T β ̂_1=ln⁡〖[∑_(j=τ+1)^T▒y_ij/(T-τ)] ,i=1,2,…,n〗 (3-8)
شرفی و همکاران(2012) بیان کرد که با جایگذاری این رابطه در رابطه 3-6 ، تخمین نقطه تغییر پروفایل پواسون با روش MLE به صورت رابطه زیر بدست می آید:
τ ̂=argmax[-∑_(j=1)^τ▒∑_(i=1)^n▒exp⁡〖(x_i^T β_0 )-1/(T-τ) ∑_(j=τ+1)^T▒〖∑_(i=1)^n▒y_ij +∑_(j=1)^τ▒〖∑_(i=1)^n▒〖y_ij x_i^T β_0 〗+∑_(j=τ+1)^T▒∑_(i=1)^n▒〖y_ij×ln⁡[∑_(j=τ+1)^T▒∑_(i=1)^n▒y_ij/(T-τ)] 〗〗〗〗 ] (3-9)

3-3-2 توسعه مدل نقطه تغییر پروفایل های پواسون و ایجاد نمودار کنترل LRT
در این روش همزمان با توسعه مدل نقطه تغییر بر اساس آزمون نسبت درستنمایی، یک نمودار کنترل بر اساس آماره ی نسبت درستنمایی استاندارد شده در فاز2 کنترل فرآیند آماری ایجاد می شود. در نمودار کنترل پیشنهاد شده برآورد پارامترهای پروفایل و بررسی شرایط خارج از کنترل به صورت همزمان انجام می شود و نیازی نیست که در دو مرحله ابتدا شرایط خارج از کنترل بررسی شود و سپس به تخمین نقطه تغییر پرداخته شود. به منظور محاسبه ی حد بالای کنترل نمودار فوق از شبیه سازی براساس متوسط طول دنباله استفاده شده است که در فصل چهارم این پایان نامه به شرح کامل آن پرداخته می شود. این روش پیشنهادی در گام های زیر اجرایی می شود:
در مرحله نخست

فرایند پواسون، رگرسیون، توسعه مدل، حداکثر درست نمایی پایان نامه ها و مقالات

دیدگاهتان را بنویسید